用数列极限的定义证明lim(n→∞) √(1+a2/n2)=1,其中的2是平方啊~

Question

用数列极限的定义证明lim(n→∞) √(1+a2/n2)=1,其中的2是平方啊~

Answer 1

证明：因为,对于任意给定的ε>0,总存在N=[a2/ε]+1>0,使得当n>N时,有┃√(1+a2/n2)-1┃
=┃√((n2+a2)/n2)-1┃ （对根号内通分）
={√(n2+a2)-n2}/n （把根号内的分母开出来,再通分）
=a2/{n(√(n2+a2)+n2)} （分子有理化）
≤a2/n （适当放大）
N=[a2/ε]+1>a2/ε）,
所以lim(n→∞) √(1+a2/n2)=1,证毕.
注意1：[a2/ε]表示不超过a2/ε的最大整数.
注意2：N>a2/ε的需求是从a2/n