计算行列式 |1+a1 1 …… 1 | | 1 1+a2 …… 1 | | …… …… …… | | 1 1 …… 1+an |

Question

计算行列式 |1+a1 1 …… 1 | | 1 1+a2 …… 1 | | …… …… …… | | 1 1 …… 1+an |

Answer 1

1+a1 1 1 …… 1 1
1 1+a2 1 …… 1 1
1 1 1+a3 …… 1 1
…… …… …… …… …… …… ……
1 1 1 ……1+a 1
1 1 1 …… 1 1+an
依次用第n行减去第n-1行,第n-1行减去第n-2行,……,第2行减去第1行,得
1+a1 1 1 …… 1 1
-a1 a2 0 …… 0 0
0 -a2 a3 …… 0 0
…… …… …… …… …… …… ……
0 0 0 …… a 0
0 0 0 …… -a an
按第一行展开,得
原式 = (1+a1)*a2*a3*a4*……*a*an
＋ (-1)*(-a1)*a3*a4*……*a*an
＋ [(-1)^2]*(-a1)*(-a2)*a4*……*a*an
＋…………＋
＋ [(-1)^(n-2)]*(-a1)*(-a2)*(-a3)*……*(-a)*an
＋ [(-1)^(n-1)]*(-a1)*(-a2)*(-a3)*……*(-a)*(-a)
= a1*a2*a3*a4*……*a*an
＋a2*a3*a4*……*a*an
＋ a1*a3*a4*……*a*an
＋ a1*a2*a4*……*a*an
＋…………＋
＋ a1*a2*a3*……*a*an
＋ a1*a2*a3*……*a*a
(1) 若数列a1、a2、a3、……、an中至少有两个数等于零,则
行列式中就会出现至少两个以上均为1的相同行,
∴原行列式＝0
(2) 若数列a1、a2、a3、……、an中有且仅有一个数等于零,假设a i =0（其中i∈[1,n]）则
原行列式 ＝ a1*a2*a3*……* ai-1 * ai+1*……*an （数列中不算ai的其余n-1个数的乘积）
(3) 若数列a1、a2、a3、……、an均不为零,则
原行列式 ＝ a1*a2*a3*a4*……*a*an * [ 1+1/a1+1/a2+1/a3+……+1/an ]