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如图,点E是正方形ABCD中BC边上任意一点,以E为端点作EF=AE交∠BCD的外角平分线于F,求证:AE⊥EF.说明:若经过反复尝试没有找到怔明方怯,交换条件与结论,将“以E为端点作EF-AE交∠BCD的
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如图,点E是正方形ABCD中BC边上任意一点,以E为端点作EF=AE交∠BCD的外角平分线于F,求证:AE⊥EF.
说明:若经过反复尝试没有找到怔明方怯,交换条件与结论,将“以E为端点作EF-AE交∠BCD 的外角平分线于F,求证:AE⊥EF”,改为“以E为端点作AE⊥EP交∠BCD的外角平分线于F.求证:EF=AE”,其他不变,完成证明.
说明:若经过反复尝试没有找到怔明方怯,交换条件与结论,将“以E为端点作EF-AE交∠BCD 的外角平分线于F,求证:AE⊥EF”,改为“以E为端点作AE⊥EP交∠BCD的外角平分线于F.求证:EF=AE”,其他不变,完成证明.
▼优质解答
答案和解析
(1)如图1,过点F作FG⊥CG于点G
设正方形的边长为a,BE=x,FG=y;
∵四边形ABCD为正方形,且CF为外角平分线,
∴∠FCG=45°,故∠CFG=∠FCG=45°;
∴CG=FG=y,EG=a-x+y;
∵AE=EF,
∴AE2=EF2;
由勾股定理得:AE2=a2+x2,EF2=(a-x+y)2+y2,
故a2+x2=(a-x+y)2+y2,
∵(a-x+y)2+y2=(a-x)2+2(a-x)y+y2+y2
=a2-2ax+x2+2ay-2xy+2y2
=a2+x2-2(x-y)(a+y)
∴a2+x2=a2+x2-2(x-y)(a+y)
∴2(x-y)(a+y)=0,
∵a+y>0,
∴x-y=0,x=y
在Rt△ABE与Rt△EGF中,
,
∴△ABE≌△EGF(HL),
∴∠BAE=∠GEF;
∵∠BAE+∠AEB=90°,
∴∠BAE+∠GEF=90°,
∴∠AEF=180°-90°=90°,
故AE⊥EF.
证明:如图2,延长BA到M,使AM=CE,
∵∠AEF=90°,
∴∠FEG+∠AEB=90°.
∵∠BAE+∠AEB=90°,
∴∠BAE=∠FEG,
∴∠MAE=∠CEF.
∵AB=BC,
∴AB+AM=BC+CE,
即BM=BE.
∴∠M=45°,
∴∠M=∠FCE.
在△AME和△ECF中,
,
∴△AME≌△ECF(ASA),
∴AE=EF.
设正方形的边长为a,BE=x,FG=y;
∵四边形ABCD为正方形,且CF为外角平分线,
∴∠FCG=45°,故∠CFG=∠FCG=45°;
∴CG=FG=y,EG=a-x+y;
∵AE=EF,
∴AE2=EF2;
由勾股定理得:AE2=a2+x2,EF2=(a-x+y)2+y2,
故a2+x2=(a-x+y)2+y2,
∵(a-x+y)2+y2=(a-x)2+2(a-x)y+y2+y2
=a2-2ax+x2+2ay-2xy+2y2
=a2+x2-2(x-y)(a+y)
∴a2+x2=a2+x2-2(x-y)(a+y)
∴2(x-y)(a+y)=0,
∵a+y>0,
∴x-y=0,x=y
在Rt△ABE与Rt△EGF中,
|
∴△ABE≌△EGF(HL),
∴∠BAE=∠GEF;
∵∠BAE+∠AEB=90°,
∴∠BAE+∠GEF=90°,
∴∠AEF=180°-90°=90°,
故AE⊥EF.
证明:如图2,延长BA到M,使AM=CE,
∵∠AEF=90°,
∴∠FEG+∠AEB=90°.
∵∠BAE+∠AEB=90°,
∴∠BAE=∠FEG,
∴∠MAE=∠CEF.
∵AB=BC,
∴AB+AM=BC+CE,
即BM=BE.
∴∠M=45°,
∴∠M=∠FCE.
在△AME和△ECF中,
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∴△AME≌△ECF(ASA),
∴AE=EF.
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