已知M是满足下列性质的所有函数f(x)组成的集合已知M是满足下列性质的所有函数f(x)的组成的集合,已知M是满足下列性质的所有函数f(x)的组成的集合,对于函数f(x),存在常数k,使得对函数f(x)定义

Question

已知M是满足下列性质的所有函数f(x)组成的集合已知M是满足下列性质的所有函数f(x)的组成的集合,
已知M是满足下列性质的所有函数f(x)的组成的集合,对于函数f(x),存在常数k,使得对函数f(x)定义域内的任意两个自变量x1,x2,均有|f(x1)减f(x2)|小于等于k|x1减x2|成立 (1)已知函数g(x)=ax^2+bx+c属于M,写出实数a,b,c必须满足的条件(2)对于集合M中的元素h(x)=根号下（x+1),x大于等于0,求满足条件的常数k的最小值（3）利用结论|sina|小于等于|a|,证明函数p(x)=asin(ax)属于M,其中a是实常数

Answer 1

(1) 当a=0时,g(x)=bx+c 要使/g(x1)-g(x2)/≤k/x1-x2 /即/bx1-bx2/≤k/x1-x2/ ∴解得／b／≤k,c∈R
当a≠0时,g(x)=ax²+bx+c 要使/g(x1)-g(x2)/=/ax1²+bx1-ax2²-bx2/≤k/x1-x2/ 解得 /a(x1+x2)+b/≤1
由韦达定理得 x1+x2=-b/a 带入得 k≥0；∴a≠0.b∈R,C∈R;
(2) 有（1）得 /b/≤k,而h(x)≥1 对（1）恒成立 K=0
（3） ∵/sina/≤/a/ ∴/asin(ax)/≤/a²x/ 即p(x)≤/a²x/
s设x1 x2 为p(x)两个根
/p(x1)-p(x2)/=/a²(x1-x2)/ *
当a≠0时,/x1-x2/≤k/x1-x2/ 带入* /a²/≤k ,k≥0 ∴成立
当a=0时,带入* 得0≤k/x1-x2/成立