已知集合M是满足下列性质函数f（x）的全体,若函数f（x）的定义域为D,对于任意的X1,X2属于D,有|f（x1）—f（x2)||x1—x2| 第一问：当D=（0,正无穷）,f（x）=lnX是否属于M,并证明 第二问：D=（0,√3/3

Question

已知集合M是满足下列性质函数f（x）的全体,若函数f（x）的定义域为D,对于任意的X1,X2属于D,有|f（x1）—f（x2)||x1—x2| 第一问：当D=（0,正无穷）,f（x）=lnX是否属于M,并证明 第二问：D=（0,√3/3),f（x）=x³+ax+b,若f（x）属于M,求a的范围

Answer 1

(1):条件|f(x1)—f(x2)||x1—x2|对任意x属于D等价于在此区间内|f'(X)|1(导函数绝对值不连续等于1也成立)恒成立,而lnX的导数为1/x,X1时不成立,因此f(X)=lnX不属于M,(2):|f'(X)|=|3x^2 a|对X属于(0,(1/3)^(1/2))大于l恒成立,故a—2或a1,a=—2或a=1时由于|f'(X)|取值不连续为1,故最后得a=—2或a=1