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证明:数9的8n+4次方-7的8n+4次方对于任何自然数n都能被20整除
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证明:数9的8n+4次方-7的8n+4次方对于任何自然数n都能被20整除
▼优质解答
答案和解析
证明：数学归纳法
N=1时,9的8n+4次方-7的8n+4次方可以被20整除；
设N=k时,9的8n+4次方-7的8n+4次方可以被20整除；
则当N=k+1时,9的8（k+1）+4次方-7的8(k+1)+4次方=9^(8(k+1)+4)-7^(8(k+1)+4)=9^(8k+4)*9^8-7^(8k+4)*9^8+7^(8k+4)*9^8-7^(8k+4)*7^8=(9^(8k+4)-7^(8k+4))*9^8+7^(8k+4)*(9^8-7^8)
此式第一项由归纳法假设可知,它可被20整除,后一项（9^8-7^8）=37281920是20的倍数,所以该式可被20整除.
N=1时,9的8n+4次方-7的8n+4次方可以被20整除；
设N=k时,9的8n+4次方-7的8n+4次方可以被20整除；
则当N=k+1时,9的8（k+1）+4次方-7的8(k+1)+4次方=9^(8(k+1)+4)-7^(8(k+1)+4)=9^(8k+4)*9^8-7^(8k+4)*9^8+7^(8k+4)*9^8-7^(8k+4)*7^8=(9^(8k+4)-7^(8k+4))*9^8+7^(8k+4)*(9^8-7^8)
此式第一项由归纳法假设可知,它可被20整除,后一项（9^8-7^8）=37281920是20的倍数,所以该式可被20整除.
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