用数学归纳法证明：（1）4^(2n+1)+3^(n+2)能被13整除（2）2^(n+2)·3^n+5n+21能被25整除

Question

用数学归纳法证明：（1）4^(2n+1)+3^(n+2)能被13整除（2）2^(n+2)·3^n+5n+21能被25整除

Answer 1

证明：
（1）N=1：
4^(2+1)+3^(1+2)=64+27=91=7*13
显然能够被13整除.
（2）假设N=K时,原式能够被13整除.
那么当N=K+1时有：
4^[2(k+1)+1]+3^(k+1+2)=4^(2k+3)+3^(k+3)=4^(2k+1)*16+3^(k+2)*3=4^(2k+1)*(13+3)+3^(k+2)*3
=13*4^(2k+1)+3*4^(2k+1)+3*3^(k+2)
=13*4^(2k+1)+3*[4^(2k+1)+3^(k+2)]
因为：4^(2k+1)+3^(k+2)能够被13整除,
所以,上式也能够被13整除.
综上所述,4的（2n+1)次方+3的（n+2）次方能被13整除