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如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E在A1B上,F在B1D1上,且BE=B1F,求证:EF‖BCC1B1
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如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E在A1B上,F在B1D1上,且BE=B1F,求证:EF‖BCC1B1
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答案和解析
作EM垂直于BB1于M,FN垂直于B1C1于N,连接MN
因为是正方体,所以
平面ABB1A1垂直于平面BB1C1C
平面A1B1C1D1垂直于平面BB1C1C
所以EM//FN(在平面的垂面上且垂直于交线的直线垂直于该平面,垂直于同一平面的两直线平行)
因为BE=B1F
所以可证三角形BEM全等于三角形B1FM(都是等腰直角三角形,且一边相等)
所以EM=FN
于是四边形EMNF为平行四边形(对边平行且相等的四边形为平行四边形)
所以EF//MN
因为MN属于平面BCC1B1
所以EF//BCC1B1(平行于平面上一直线的直线与该平面平行)
因为是正方体,所以
平面ABB1A1垂直于平面BB1C1C
平面A1B1C1D1垂直于平面BB1C1C
所以EM//FN(在平面的垂面上且垂直于交线的直线垂直于该平面,垂直于同一平面的两直线平行)
因为BE=B1F
所以可证三角形BEM全等于三角形B1FM(都是等腰直角三角形,且一边相等)
所以EM=FN
于是四边形EMNF为平行四边形(对边平行且相等的四边形为平行四边形)
所以EF//MN
因为MN属于平面BCC1B1
所以EF//BCC1B1(平行于平面上一直线的直线与该平面平行)
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