已知正四棱锥S-ABCD,SA=2倍根号3,则当该棱锥的体积最大时,它的高为多少?

Question

已知正四棱锥S-ABCD,SA=2倍根号3,则当该棱锥的体积最大时,它的高为多少?

Answer 1

这个问题貌似只能用求导来做.
首先构建一个用棱锥高h来表示的关于棱锥体积V的函数.
设V为棱锥体积,h为高,s为底面积,a为底面正方形ABCD的边长,点O为正方形对角线交点（中心）
棱锥体积V=1/3sh,其中s=a²；
构建一个三角形,直角边分别为OA和OS（即为高）,斜边为SA.勾股定理 OA²+OS²=SA²
而 OA=a/根号2,OS=h ,SA=2倍根号3
所以 （a/根号）²+（h）²=（2倍根号3）²
简化此等式,代入棱锥体积公式,把a用h替换掉
得到函数 f(h)=V=-2h³+24h,（h＞0,V＞0）问题即转化为求该函数在h取何值时使得V最大值
第二步就是求导了
f'(h)=V'=-6h²+24
h有两个值可以使该导函数为零,即 h= 正或负2倍根号3 时,V'=0,（此处,h负值情况不成立,舍去）也就是说当 h=2倍根号3 时,原函数f(h)=V可以达到最大值最大值
所以答案是当h=2倍根号3时,该四棱锥体积最大.
中间省去了很多计算步骤,如果lz哪里不清楚,欢迎垂询.