棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F,P,Q分别是BC,C1D1,AD1,BD的中点,求异面直线PQ与EF所成角的余弦值用空间向量做

Question

棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F,P,Q分别是BC,C1D1,AD1,BD的中点,求异面直线PQ与EF所成角的余弦值
用空间向量做

Answer 1

以A为原点,AB方向为正X方向,AD方向为正Y方向,AA1方向为正Z方向,
则E(a,a/2,0),F(a/2,a,a),P(0,a/2,a/2),Q(a/2,a/2,0)
所以EF为(-a/2,a/2,a),PQ为(a/2,0,-a/2)
所以EF和PQ的内积为-3a^2/4
而EF长为根号(3/2)a,PQ长为a/根号2
所以cos角=内积/(EF长乘PQ长)=-根号3/2