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棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F,P,Q分别是BC,C1D1,AD1,BD的中点,求异面直求异面直线PQ与EF所成角的余弦值 空间向量的方法的做
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棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F,P,Q分别是BC,C1D1,AD1,BD的中点,求异面直
求异面直线PQ与EF所成角的余弦值 空间向量的方法的做
求异面直线PQ与EF所成角的余弦值 空间向量的方法的做
▼优质解答
答案和解析
以A为原点,AB、AD、AA1为X轴、Y轴、Z轴建立空间直角坐标系,
A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),
A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),
E(1,1/2,0),F(1/2,1,1),P(0,1/2,1/2),Q(1/2,1/2,0),
向量PQ=(1/2,0,-1/2),向量EF=(-1/2,1/2,1),
向量PQ·EF=-1/4-0-1/2=-3/4,
|PQ|=√(1/4+1/4)=√2/2,|EF|=√(1/4+1/4+1)=√6/2,
设二向量夹角θ,
∴cosθ=(-3/4)/[(√2/2)*√6/2)]=-√3/2.
A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),
A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),
E(1,1/2,0),F(1/2,1,1),P(0,1/2,1/2),Q(1/2,1/2,0),
向量PQ=(1/2,0,-1/2),向量EF=(-1/2,1/2,1),
向量PQ·EF=-1/4-0-1/2=-3/4,
|PQ|=√(1/4+1/4)=√2/2,|EF|=√(1/4+1/4+1)=√6/2,
设二向量夹角θ,
∴cosθ=(-3/4)/[(√2/2)*√6/2)]=-√3/2.
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