（2011•北海）如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A（-2，0）、B（4、0）两点，与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式；（2）T是抛物线对称轴上的一点，且△ATC是以AC为底的等腰三角形，求点T的

Question

（2011•北海）如图，抛物线y=ax²+bx+4与x轴交于A（-2，0）、B（4、0）两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）T是抛物线对称轴上的一点，且△ATC是以AC为底的等腰三角形，求点T的坐标；
（3）M、Q两点分别从A、B点以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行，当点M到原点时，点Q立刻掉头并以每秒(3)/(2)个单位长度的速度向点B方向移动，当点M到达抛物线的对称轴时，两点停止运动，过点M的直线l⊥x轴交AC或BC于点P．求点M的运动时间t与△APQ面积S的函数关系式，并求出S的最大值．

Answer 1

（1）把A（-2，0），B（4，0）代入y=ax²+bx+4得：

4a−2b+4＝0

16a+4b+4＝0

，
解得：a=-(1)/(2)，b=1，
∴抛物线的解析式是：y=-(1)/(2)x²+x+4，
答：抛物线的解析式是y=-(1)/(2)x²+x+4．

（2）由y=-(1)/(2)x²+x+4=-(1)/(2)（x-1）²+(9)/(2)，得抛物线的对称轴为直线x=1，
直线x=1交x轴于点D，设直线x=1上一点T（1，h），
连接TC、TA，作CE⊥直线x=1，垂足是E，
由C（0，4）得点E（1，4），
在Rt△ADT和Rt△TEC中，由TA=TC得3²+h²=1²+（4-h）²，
∴h=1，
∴T的坐标是（1，1），
答：点T的坐标是（1，1）．

（3）（I）当0＜t≤2时，△AMP∽△AOC，
∴(PM)/(CO)=(AM)/(AO)，PM=2t，
AQ=6-t，
∴S=(1)/(2)PM•AQ=(1)/(2)×2t（6-t）=-t²+6t=-（t-3）²+9，
当t=2时S的最大值为8；
（II）当2＜t≤3时，
作PM⊥x轴于M，作PF⊥y轴于点F，

则△COB∽△CFP，
又∵CO=OB，
∴FP=FC=t-2，PM=4-（t-2）=6-t，AQ=4+(3)/(2)（t-2）=(3)/(2)t+1，
∴S=(1)/(2)PM•AQ=(1)/(2)（6-t）（(3)/(2)t+1）=-(3)/(4)t²+4t+3=-(3)/(4)（t-(8)/(3)）²+(25)/(3)，
当t=(8)/(3)时，S最大值为(25)/(3)，
综合（I）（II）S的最大值为(25)/(3)，
答：点M的运动时间t与△APQ面积S的函数关系式是S=-t²+6t（0＜t≤2），S=(3)/(2)t²+4t+3（2＜t≤3），S的最大值是(25)/(3)．