在四棱锥p-底ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥平面ABCD,PD=DC=2,E是PC的中点,作EF垂直PB交PB于点F求VB-EFD

Question

在四棱锥p-底ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥平面ABCD,PD=DC=2,E是PC的中点,作EF垂直PB交PB于点F
求VB-EFD

Answer 1

连结BD、BE,

∵PD⊥平面ABCD,

AD、CD、BD、BC∈平面ABCD,

∴PD⊥CD,PD⊥AD,PD⊥BD,PD⊥BC,

∵PD=CD=AD=2,

△PDC和△PAD都是等腰RT△,

∴PC=PA=2√2,

∵四边形ABCD是正方形,

∴BD=√2AB=2√2,

△PDB是RT△,

根据勾股定理,

PB=2√3,

∵〈BCD=90°,

CD是PC在平面ABCD的射影,

∴根据三垂线定理,BC⊥PC,

∵〈PFE=90°（已知）,

〈EPF=〈BPC,（公用角）,

∴RT△PFE∽RT△PCB,

∴EF/BC=PE/PB,

PE=PC/2=√2,

∴EF=√6/3,

∵DE是等腰RT△斜边的中线,

∴DE⊥PC,

∵PD⊥BC,

BC⊥CD,

PC∩ CD=C,

∴BC⊥平面OPDC,

∵DE∈平面PDC,

∴BC⊥DE,

∴DE⊥平面PBC,

∴BE是三棱锥D-BEF的高,

PF^2=PE^2-EF^2,

PF=2√3/3,

BF=PB-PF=2√3-2√3/3=4√3/3,

S△BEF=EF*BF/2=√6/3*（4√3/3）/2=2√2/3,

∴VB-EFD=VD-BEF=DE*S△BEF/3=√2*（2√2/3）/3=4/9.