如图,已知点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上,∠PDA=60°.（1）求DP与CC1所成角的大小；（2）求DP与平面AA1D1D所成角的大小.

Question

如图,已知点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上,∠PDA=60°.
（1）求DP与CC1所成角的大小；（2）求DP与平面AA1D1D所成角的大小.

Answer 1

(1)做辅助线DB
cosPDA = cosPDB * cosBDA
cosPDA = cos60°= 1/2
cosBDA = cos45°= 根号2/2
得 cosPDB = 根号2/2
PDB = 45°,即 PDD1 = 45°
所以PD与CC1所成角的大小也为45°
(2)作DP的延长线交B1D1于E,过E作A1D1的垂线EE1,交A1D1于E1
设正方体边长为1
则 ED1=1,ED=根号2,EE1=根号2/2
所以 DE1 = 根号6/2
DP与平面AA1D1D所成角的大小等于∠EDE1(EE1垂直于面AA1D1D)
而 cosEDE1 = DE1/DE = 根号3/2
所以∠EDE1 = 30°
所以所求角为30°