如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,过对角线BD'的平面分别与棱AA',CC'相交于E,F两点,求证：四边形EBFD'为平行四边形

Question

如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,过对角线BD'的平面分别与棱AA',CC'相交于E,F两点,求证：四边形EBFD'为平行四边形

Answer 1

根据题意,
设正方体对角线BD'的中点为O点,连接AC,A'C',显然,四边形ACC'A'为长方形,中点为O,则OE、OF在长方形ACC'A'中.
（为清晰起见,请作长方形ACC'A'平面图）
在长方形ACC'A'中,过O点做平行于AA'的平行线MN,交AC于M、A'C'于N；过E点做平行于AC的平行线ES,交MN于P点；过F点做A'C'平行线FT,交MN于Q点.根据多条平行线的互相平行,ES//FT,从而内错角SEF=TFE,即角PEO=QFO；根据对顶角相等,角POE=QOF：角EPO=FQO（为直角）,直角边EP=FQ
……证得直角三角形EPO全等于FQO,则OE=OF
回到待证平面（四边形）EBFD'中：
根据刚才所证,OE=OF
根据题意,OD=OB
这两点符合了“对角线互相平分的四边形为平行四边形”,所以“四边形EBFD'为平行四边形”
（另外对角角EOB=FOD',根据两个三角形边角边的全等条件,也可以证明三角形EOB全等于FOD',从而角EBO=角FDO,根据内错角相等,两直线平行,证得EB//D'F……）