已知x^2/a^2+y^2/b^2(a>b>0)的长轴是短轴的2倍,且过点C(2,1),C关于原点O的对称轴为D1.若点P在椭圆上,是否存在CD的斜率*DP的斜率为定值,若存在求出定值,不存在说明理由2.平行于CD的直线l交椭圆于MN两

Question

已知x^2/a^2+y^2/b^2(a>b>0)的长轴是短轴的2倍,且过点C(2,1),C关于原点O的对称轴为D
1.若点P在椭圆上,是否存在CD的斜率*DP的斜率为定值,若存在求出定值,不存在说明理由
2.平行于CD的直线l交椭圆于MN两点,求△CMN面积的最大值及此时l的方程

Answer 1

x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的长轴是短轴的2倍,
∴a=2b.
它过点C(2,1),
∴4/(4b^2)+1/b^2=1.
∴b^2=2,a^2=8.
椭圆方程为x^2/8+y^2/2=1.①
1.C关于原点O的对称点为D（-2,-1）.
∴CD的斜率=CO的斜率=1/2.
若CD的斜率*DP的斜率为定值,则DP的斜率为定值,P为椭圆上的定点,不合题意.
CP的斜率*DP的斜率为定值?
2.设l:x=2y+m,代入①*8,整理得
8y^2+4my+m^2-8=0,
△=16m^2-32(m^2-8)
=16(16-m^2),
|MN|=(√△)/8*√5,
C到MN的距离d=|m|/√5,
∴S△CMN=(1/2)|MN|d=(1/4)√[m^2(16-m^2)]