证明曲线xyz=1任意点的切平面与三个坐标面围成的体积是常数?

Question

证明曲线xyz=1任意点的切平面与三个坐标面围成的体积是常数?

Answer 1

设曲面上任意一点坐标(x0,y0,z0)
满足x0*y0*z0=1
该点处法向量=(y0*z0,x0*z0,x0*y0)
切平面方程为：
y0*z0*(x-x0)+x0*z0*(y-y0)+x0*y0*(z-z0)=0
该平面与x、y、z轴相交得到一个四面体
把x0=0,y0=0代入得到z=3*z0
同理可得：x=3*x0,y=3*y0
该四面体互相垂直的三条棱长分别为l(x)=3*x0、l(y)=3*y0、l(z)=3*z0
∴体积
=S(xy)*l(z)/3
=l(x)*l(y)*l(z)/6
=(3^3)*(x0*y0*z0)/6
=9
∴三个坐标面所围成的体积为一定数9