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已知双曲线C:x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1、F2,离心率为e直线l:y=ex+a与x,y轴交于点A,B(1)求证:直线l与双曲线只有一个公共点(2)设直线与双曲线公共点为M,且向量AM=k倍向量AB,

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已知双曲线C:x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1、F2,离心率为e
直线l:y=ex+a与x,y轴交于点A,B(1)求证:直线l与双曲线只有一个公共点(2)设直线与双曲线公共点为M,且向量AM=k倍向量AB,证明:k+e^2=1(3)设P是点F1关于直线l的对称点,当△PF1F2为等腰三角形时,求e
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答案和解析
已知双曲线C:x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F₁、F₂,离心率为e;
直线l:y=ex+a与x,y轴交于点A,B;1)求证:直线l与双曲线只有一个公共点;(2)设直线与双曲线公共点为M,且向量AM=k倍向量AB,证明:k+e^2=1;(3)设P是点F1关于直线l的对称点,当△PF₁F₂为等腰三角形时,求e.
(1).将y=ex+a代入双曲线方程得 x²/a²-(ex+a)²/b²=1;去分母得b²x²-a²(ex+a)²-a²b²=0;
展开化简得 (b²-a²e²)x²-2a³ex-a⁴-a²b²=(b²-c²)x²-2a²cx-a²c²=0.(1);由于其判别式:
△=4a⁴c²+4[(b²-c²)a²c²]=4a⁴c²-4a⁴c²=0,故直线L与双曲线C只有一个交点.
【其中反复用了关系式:a²+b²=c²;e=c/a;】
(2).直线L与x轴的交点A:令y=0,得x=-a/e=-a²/c;即A(-a²/c,0);令x=0,得y=a,故B(0,a);
由(1) (b²-c²)x²-2a²cx-a²c²=0,得交点M的横坐标x=2a²c/[2(b²-c²)]=-c,纵坐标y=-√[b²(c²/a²-1)]
=-b²/a;点A内分MB,设其分比为λ,则λ=MA/AB=-AM/AB=-K;故按分点坐标公式:
xA=(xM+λxB)/(1+λ),其中λ=-k,xM=-c,xB=0,xA=-a²/c;代入即得:
-c/(1-k)=-a²/c,即有k=1-c²/a²=1-e²,∴k+e²=1.故证.
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