若曲线y=根号[1-(x-a)^2]与y=x+2有且只有一个公共点P,O为坐标原点,则/OP/的取值范围

Question

若曲线y=根号[1-(x-a)^2]与y=x+2有且只有一个公共点P,O为坐标原点,则/OP/的取值范围

Answer 1

y=√(1-(x-a)^2)整理得
(x-a)^2+y^2=1（y≥0）
即表示在x轴上方的半圆,圆心为(a,0),半径为1
y=x+2与半圆只有一个公共点,则半圆与直线的关系可能为
（1）相切,且切点的y≥0
此时圆心(a,0)到直线距离为1
则有1=|a+2|/√2
解得a=√2-2（另一根舍去,切点在x轴下方）此时
|OP|=5-2√2
（2）相交,且只有一个交点的y≥0
此时a的取值范围为[-3,-1)
|OP|∈(1,2]
因此|OP|的取值范围为
(1,2]∪{5-2√2}