曲线弧y=sinx（0＜x＜π）上曲率半径最小的点处的曲率半径为．

Question

曲线弧y=sinx（0＜x＜π）上曲率半径最小的点处的曲率半径为______．

Answer 1

因为y=sinx，y′=cosx，y″=-sinx，
所以k（x）=(|−sinx|)/((1+cos2x)(3)/(2))=(sinx)/((1+cos2x)(3)/(2))，0＜x＜π．
因为k′（x）=(cosx(1+cos2x)(3)/(2)+cosxsin2x(1+cos2x)(1)/(2))/((1+cos2x)3)
=(2cosx)/((1+cos2x)(5)/(2))，0＜x＜π，
令k′（x）=0 可得，x=(π)/(2)．
因为当0＜x＜(π)/(2)时，k′（x）＞0，当(π)/(2)＜x＜π时，k′（x）＜0，
故k（x）在(0，(π)/(2))上单调增，在((π)/(2)，π)上单调减，
从而当x=(π)/(2)时，k（x）取得最大值，从而曲率半径取得最小值R=(1)/(k((π)/(2)))=1．
故答案为：1．