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点P是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的动点,点A,B关于原点对称.求证:kPA·kPB为定值
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点P是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的动点,点A,B关于原点对称.求证:kPA·kPB为定值
▼优质解答
答案和解析
设直线AB的方程为Ax+By=0,点A(x1,y1)点B(-x1,-y1),P(x0,y0)
则kPA*kPB=(y0-y1)(y0+y1)/[(x0-x1)(x0-x1)]=(y0^2-y1^2)/(x0^2-x1^2)
又因为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),所以(x1,y1),(x0,y0)都满足y^2=b^2*(1-x^2/a^2)
解得kPA*kPB=-b^2/a^2
则kPA*kPB=(y0-y1)(y0+y1)/[(x0-x1)(x0-x1)]=(y0^2-y1^2)/(x0^2-x1^2)
又因为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),所以(x1,y1),(x0,y0)都满足y^2=b^2*(1-x^2/a^2)
解得kPA*kPB=-b^2/a^2
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