如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的2倍,椭圆经过点M（2,1）,平行于OM的直线L在y 轴上的截距m（m不等于0）,L交椭圆A,B两个不同点.求证直线ma、mb与x轴始终围成一个等腰

Question

如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的2倍,椭圆经过点M（2,1）,平行于OM的直线L在y 轴上的截距m（m不等于0）,L交椭圆A,B两个不同点.求证直线ma、mb与x轴始终围成一个等腰三角形

Answer 1

椭圆长轴长是短轴长的2倍
2a=4b,a=2b
根据题意设椭圆的标准方程
为x²/4+y²=b²
椭圆经过点M（2,1）,
∴b²=1+1=2
∴a²=4b=8
∴椭圆的标准方程
为x²/8+y²/2=1
(2)
直线OM的斜率k=1/2
∵L//OM ∴kOM=1/2
L在y 轴上的截距m（m不等于0）,
则L：y=1/2x+m
｛y=1/2x+m
｛x²/8+y²/2=1
==>
x²+4(1/2x+m)²-8=0
整理：x²+2mx+2m²-4=0
Δ=4m²-4(2m²-4)
=4(4-m²)>0
-2