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求函数y=2sinx-cos2x/1+sinx,x∈[-π/4,π/4]的最大值
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求函数y=2sinx-cos2x/1+sinx,x∈[-π/4,π/4]的最大值
▼优质解答
答案和解析
y=(2sinx-cos^2x)/(1+sinx)
=[2sinx-1+(sinx)^2]/(1+sinx)
=[(1+sinx)^2-2]/(1+sinx)
=(1+sinx)-2/(1+sinx)
令：t=1+sinx
x∈[-π/4,π/4]
sinx∈[1-√2/2,1+√2/2]
则：y=t-2/t
因为：y=t和t=-2/t在[1-√2/2,1+√2/2]上都是增函数
所以 y=t-2/t在（0,2]上也是增函数
所以当t=1-√2/2时取得最小值,
最小值为
1-√2/2-2(1-√2/2)
=1-√2/2-4/(2-√2)
=1-√2/2-2(2+√2)
=1-√2/2-4-2√2
=-3-5√2/2
所以当t=1+√2/2时取得最大值,
最大值为
1+√2/2-2(1+√2/2)
=1+√2/2-4/(2+√2)
=1+√2/2-2(2-√2)
=1+√2/2-4+2√2
=-3+5√2/2
=[2sinx-1+(sinx)^2]/(1+sinx)
=[(1+sinx)^2-2]/(1+sinx)
=(1+sinx)-2/(1+sinx)
令：t=1+sinx
x∈[-π/4,π/4]
sinx∈[1-√2/2,1+√2/2]
则：y=t-2/t
因为：y=t和t=-2/t在[1-√2/2,1+√2/2]上都是增函数
所以 y=t-2/t在（0,2]上也是增函数
所以当t=1-√2/2时取得最小值,
最小值为
1-√2/2-2(1-√2/2)
=1-√2/2-4/(2-√2)
=1-√2/2-2(2+√2)
=1-√2/2-4-2√2
=-3-5√2/2
所以当t=1+√2/2时取得最大值,
最大值为
1+√2/2-2(1+√2/2)
=1+√2/2-4/(2+√2)
=1+√2/2-2(2-√2)
=1+√2/2-4+2√2
=-3+5√2/2
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