证明方程组AX=0的任意n-r个线性无关的解向量都是它的一个基础解系.

Question

证明方程组AX=0的任意n-r个线性无关的解向量都是它的一个基础解系.

Answer 1

反证.
若有n-r个线性无关的解向量 a1,...,an-r 不是AX=0 的基础解系
由基础解系的定义知 至少有一个解向量b 不能由 a1,...,an-r 线性表示
因此 a1,...,an-r,b 线性无关
这与 AX=0 的基础解系含n-r个向量矛盾.