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设x＋y＋z＝1,则x2＋xy＋y2＋y2＋yz＋z2＋ z2＋zx＋x2的最小值为( )
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设x＋y＋z＝1,则x2＋xy＋y2＋y2＋yz＋z2＋ z2＋zx＋x2的最小值为( )
▼优质解答
答案和解析
由x＋y＋z＝1,两边平方,得：x^2＋y^2＋z^2＋2xy＋2xz＋2yz＝1.
所以：x^2＋xy＋y^2＋Y^2＋yz＋z^2＋z^2＋zx＋x^2
＝（x^2＋y^2＋z^2＋2xy＋2xz＋2yz）＋（x^2＋y^2＋z^2－xy－xz－yz）
＝1＋［（x^2－2xy＋y^2）＋（y^2－2yz＋z^2）＋（x^2－2xz＋z^2）］/2
＝1＋［（x－y）^2＋（y－z）^2＋（x－z）^2］/2
≥1
即：x^2＋xy＋y^2＋Y^2＋yz＋z^2＋z^2＋zx＋x^2的最小值是1.
所以：x^2＋xy＋y^2＋Y^2＋yz＋z^2＋z^2＋zx＋x^2
＝（x^2＋y^2＋z^2＋2xy＋2xz＋2yz）＋（x^2＋y^2＋z^2－xy－xz－yz）
＝1＋［（x^2－2xy＋y^2）＋（y^2－2yz＋z^2）＋（x^2－2xz＋z^2）］/2
＝1＋［（x－y）^2＋（y－z）^2＋（x－z）^2］/2
≥1
即：x^2＋xy＋y^2＋Y^2＋yz＋z^2＋z^2＋zx＋x^2的最小值是1.
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