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设x+y+z=1,则x2+xy+y2+y2+yz+z2+ z2+zx+x2的最小值为( )
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设x+y+z=1,则x2+xy+y2+y2+yz+z2+ z2+zx+x2的最小值为( )
▼优质解答
答案和解析
由x+y+z=1,两边平方,得:x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz=1.
所以:x^2+xy+y^2+Y^2+yz+z^2+z^2+zx+x^2
=(x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz)+(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)
=1+[(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(x^2-2xz+z^2)]/2
=1+[(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2]/2
≥1
即:x^2+xy+y^2+Y^2+yz+z^2+z^2+zx+x^2的最小值是1.
所以:x^2+xy+y^2+Y^2+yz+z^2+z^2+zx+x^2
=(x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz)+(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz)
=1+[(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(x^2-2xz+z^2)]/2
=1+[(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2]/2
≥1
即:x^2+xy+y^2+Y^2+yz+z^2+z^2+zx+x^2的最小值是1.
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