已知a>0，b∈R，函数f（x）=4ax2-2bx-a+b，x∈[0，1]．（Ⅰ）当a=b=2时，求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）证明：函数f（x）的最大值|2a-b|+a；（Ⅲ）证明：f（x）+|2a-b|+a≥0．

Question

已知a>0，b∈R，函数f（x）=4ax²-2bx-a+b，x∈[0，1]．
（Ⅰ）当a=b=2时，求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）证明：函数f（x）的最大值|2a-b|+a；
（Ⅲ）证明：f（x）+|2a-b|+a≥0．

Answer 1

（Ⅰ）当a=b=2时，f（x）=8x²-4x，x∈[0，1]．
对称轴为x=(1)/(4)，f（0）=0，f（1）=4，
可得f（x）的最大值为4；
（Ⅱ）证明：f（x）的对称轴为x=(b)/(4a)，
当(b)/(4a)>1时，区间[0，1]为减区间，
可得f（x）的最大值为f（0）=b-a，
由b>4a>2a，可得|2a-b|+a=b-2a+a=b-a，
则f（0）=|2a-b|+a；
当(b)/(4a)<0时，区间[0，1]为增区间，
可得最大值为f（1）=3a-b，
由b<0，可得|2a-b|+a=2a-b+a=3a-b=f（1）；
当0≤(b)/(4a)≤1时，区间[0，(b)/(4a)]为减区间，[(b)/(4a)，1]为增区间，
若f（0）≤f（1），即b≤2a，可得最大值为f（1）=3a-b=|2a-b|+a；
若f（0）>f（1），即2a<b≤4a，可得最大值为f（0）=b-a=|2a-b|+a．
综上可得函数f（x）的最大值|2a-b|+a；
（Ⅲ）证明：要证f（x）+|2a-b|+a≥0恒成立，
只需证f（x）_min+|2a-b|+a≥0，
设f（x）的最小值为m，最大值为M，由（Ⅱ）得M=|2a-b|+a，
由f（x）的对称轴为x=(b)/(4a)，
当(b)/(4a)>1时，区间[0，1]为减区间，可得m=f（1）=3a-b，
则M+m=b-2a+a+3a-b=2a>0；
当(b)/(4a)<0时，区间[0，1]为增区间，可得m=f（0）=b-a，
M=f（1）=3a-b，则M+m=2a>0；
当0≤(b)/(4a)≤1时，区间[0，(b)/(4a)]为减区间，[(b)/(4a)，1]为增区间，
可得m=f（(b)/(4a)）=(4ab-4a2-b2)/(4a)，
若f（0）≤f（1），即b≤2a，可得M=f（1）=3a-b，
M+m=(8a2-b2)/(4a)≥(8a2-4a2)/(4a)=a>0；
若f（0）>f（1），即2a<b≤4a，可得M=f（0）=b-a，
M+m=(8ab-8a2-b2)/(4a)=(-(b-4a)2+8a2)/(4a)，
由于2a<b≤4a，可得M+m∈（a，2a]，即为M+m>0．
综上可得M+m>0恒成立，
即有f（x）+|2a-b|+a≥0．