已知函数f(x)=2a+1/a-1/a2x,常数a>0.1.设m.n>0,证明：函数f(x)在[已知函数f(x)=2a+1/a-1/a2x,常数a>0.1.设m.n>0,证明：函数f(x)在[m,n]上单调递减2.设0

Question

已知函数f(x)=2a+1/a-1/a2x,常数a>0.1.设m.n>0,证明：函数f(x)在[
已知函数f(x)=2a+1/a-1/a2x,常数a>0.
1.设m.n>0,证明：函数f(x)在[m,n]上单调递减
2.设0

Answer 1

(1)∵f（x）= （2a＋1）/a－1/a²x =（－1／a²）／x＋（2a＋1）/a 且a＞0
∴1／a²＞0 ∴－1／a²＜0
（这题类似反比例函数y=k／x,k≠0相当于k=－1／a²）
∵反比例函数y=（－1/a²）／x在[m,n]为增函数.（画出图像即可）
又f（x）的单调性与反比例函数y的单调性相同.
∴函数f（x）在[m,n]上单调递增.
（2）∵f（x）的定义域和值域都是[m,n],（0＜m＜n）
由（1）知,f（x）= （－1／a²）／x＋（2a＋1）／a ,（a＞0）在区间[m,n]上为增函数.
∴f（x）min=f（m）=（－1／a²）／m＋（2a＋1）／a =m ,①
∴f（x）max=f（n）=（－1／a²）／n＋（2a＋1）／a =n,②
结合题意,又由①②知,对于方程（－1／a²）／x＋（2a＋1）／a = x有两个异正实根m,n.
即：方程x²－[（2a＋1）／a ）]x＋1／a²= 0有两个异正实根m,n.
∴判别式Δ=[（2a＋1）／a ）]²－4•1•1／a²＞0
即：[（2a＋1）²－4]／a²＞0 ＜＝＞（2a＋1）²－4＞0,∴（2a－1）•（2a＋3）＞0
∴a＜－3／2 或a＞1／2 ,又a＞0 ∴a＞1／2
由韦达定理得：m＋n =（2a＋1）／a =2＋1／a＞0 ③
m•n=1／a²＞0 ④
显然③④对于a＞1／2时成立.
∴a＞1／2
∴a的取值范围为（1／2,＋∞）