如果（x-a)(x-4)-1能够被分解成两个多项式x+b,x+c的乘积,就a的值

Question

如果（x-a)(x-4)-1能够被分解成两个多项式x+b,x+c的乘积,就a的值

Answer 1

（x-4）（x-4）-1
=x²-8x+16-1
=x²-8x+15
=（x-3）（x-5）
1、待定系数法：
据题意有（x-a）（x-4）-1=(x+b)(x+c)
x^2-(4+a)x+4a-1=x^2+(b+c)x+bc
对照系数有
-(4+a)=+(b+c) （1）
4a-1=bc （2）
由（1）得a=-（4+b+c）
由（2）得a=（bc+1）/4
因为b,c为整数,而a=-4-b-c,所以a也为整数,
所以bc+1必为4的整数倍且同时要满足a=-4-b-c
这样的数只有bc=15才行
则b=-3,c=-5 或c=-3,b=-5 故a=4
2、在有理数范围内只有当a=4时,
（x-a）（x-4）-1
才能够分解成两个多项式的乘积,
即(x-4)^2-1,
分解为(x-5)(x-3).
所以a=4