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高数种数列极限的定理3中的推论图中证明的第三行开始我看不懂书上证明的逻辑了,为什么那样说,求高数教
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高数种数列极限的定理3中的推论图中证明的第三行开始我看不懂书上证明的逻辑了,为什么那样说,求高数教
▼优质解答
答案和解析
虽然你没给出定理3的内容,但从这个证明中的描述可以看出,定理3应该是这样的:
如果一个数列{Xn}的极限a满足:a<0(或a>0);那么{Xn}必然从某项开始有:Xn<0(或Xn>0);
而这个推论,(基本上)就是定理3的【逆命题】.本来,对于普通的命题,其逆命题是未必为真的.但定理3实在很特殊:
它同时对(a<0)和(a>0)进行判断,这就(基本上)相当于同时肯定了一个命题和它的【否命题】;而我们都知道,【逆命题】和【否命题】互为【逆否命题】,它们是等价的.
虽然这里我所说的逆命题、否命题都不是严格的,但这些特点就为该推论的成立提供了基础条件.
定理3和推论中,都假定极限存在.所以,可以定义以下命题:
①:a>0;
②:a<0;
③:a≥0;
④:a≤0;
⑤:a=0;
它们的关系是:
(1)①、②、⑤两两相互对立;——所谓对立,就是不能同时为真;
(2)①、④相互矛盾;——所谓矛盾,就是不能同时为真,也不能同时为假;
(3)②、③相互矛盾;
(4)③、④相交于⑤;
而关于Xn的判断,都是针对n大于某个项数后的所有项而言的.具体包括以下命题:
Ⅰ:存在N1:若n>N1,则Xn>0;
Ⅱ:存在N2:若n>N2,则Xn<0;
Ⅲ:存在N3:若n>N3,则Xn≥0;
Ⅳ:存在N4:若n>N4,则Xn≤0;
Ⅴ:存在N5:若n>N5,则Xn=0;
Ⅵ:不存在N6,使得当n>N6时,Xn与0有固定统一的大小关系;
它们的关系就是解决你的问题的关键:
(1)Ⅰ、Ⅱ、Ⅴ相互独立;
(2)Ⅰ、Ⅳ相互独立;
(3)Ⅱ、Ⅲ相互独立;
(4)Ⅲ、Ⅳ相交于Ⅴ;
(5)Ⅰ~Ⅴ的选言命题,与Ⅵ相互矛盾;
上面所说的N1~N5,对单个命题而言,我们可以换用任何字母来表示这个整数,我之所以用五个不同的符号表示,只是为了表达这样一个意思:这五个命题中所说的五个整数,可能不相等.以证明中用到的Ⅱ与Ⅲ的对立关系为例说明:
n大于N2和N3,是Ⅱ与Ⅲ分别成立的条件.如果令N=max{N2,N3},即:N为N2和N3中【较大】的那个(显然,这样的N是一定存在的——只要N2和N3存在);那么,因为N2和N3都可以分别令Ⅱ和Ⅲ为真,所以,比它们更大的N,肯定更可以令Ⅱ和Ⅲ为真了.此时,就有了这样的结论:
Ⅱ′:当n>N时,Xn必然小于0;
Ⅲ′:当n>N时,Xn必然不小于0;
这显然是相互矛盾的.本题中的证明,就是利用这个矛盾进行反证的.
我们可利用上面定义的各个命题,重写证明过程:
定理3可以表示为:
①→Ⅰ;②→Ⅱ;
而所需证明的推论可以这样表示:
Ⅲ→③;Ⅳ→④;
那么证明就是这样的:
如果:Ⅲ→③不成立;那么就有:Ⅲ为真,且③为假;
③为假,所以它的矛盾命题②,必然为真;
那么根据:②→Ⅱ,可得:Ⅱ为真;
但Ⅱ与Ⅲ矛盾;由此可证明Ⅲ→③必然成立.
上面是反证法,其实还可以用直接法:
若Ⅲ为真,则Ⅱ为假;——对立命题的性质;
若Ⅱ为假,则②为假;——逆否命题的性质;
若②为假,则③为真;——矛盾命题的性质;
转换成原来的命题,就是:
如果:存在N,使得n>N时,Xn≥0;
那么:就不存在N,使得n>N时,Xn<0;
如果:不存在N,使得n>N时,Xn<0;
那么:{Xn}的极限a就不满足:a<0;
如果:{Xn}的极限a不满足:a<0;
那么:{Xn}的极限a就一定满足:a≥0;
如果一个数列{Xn}的极限a满足:a<0(或a>0);那么{Xn}必然从某项开始有:Xn<0(或Xn>0);
而这个推论,(基本上)就是定理3的【逆命题】.本来,对于普通的命题,其逆命题是未必为真的.但定理3实在很特殊:
它同时对(a<0)和(a>0)进行判断,这就(基本上)相当于同时肯定了一个命题和它的【否命题】;而我们都知道,【逆命题】和【否命题】互为【逆否命题】,它们是等价的.
虽然这里我所说的逆命题、否命题都不是严格的,但这些特点就为该推论的成立提供了基础条件.
定理3和推论中,都假定极限存在.所以,可以定义以下命题:
①:a>0;
②:a<0;
③:a≥0;
④:a≤0;
⑤:a=0;
它们的关系是:
(1)①、②、⑤两两相互对立;——所谓对立,就是不能同时为真;
(2)①、④相互矛盾;——所谓矛盾,就是不能同时为真,也不能同时为假;
(3)②、③相互矛盾;
(4)③、④相交于⑤;
而关于Xn的判断,都是针对n大于某个项数后的所有项而言的.具体包括以下命题:
Ⅰ:存在N1:若n>N1,则Xn>0;
Ⅱ:存在N2:若n>N2,则Xn<0;
Ⅲ:存在N3:若n>N3,则Xn≥0;
Ⅳ:存在N4:若n>N4,则Xn≤0;
Ⅴ:存在N5:若n>N5,则Xn=0;
Ⅵ:不存在N6,使得当n>N6时,Xn与0有固定统一的大小关系;
它们的关系就是解决你的问题的关键:
(1)Ⅰ、Ⅱ、Ⅴ相互独立;
(2)Ⅰ、Ⅳ相互独立;
(3)Ⅱ、Ⅲ相互独立;
(4)Ⅲ、Ⅳ相交于Ⅴ;
(5)Ⅰ~Ⅴ的选言命题,与Ⅵ相互矛盾;
上面所说的N1~N5,对单个命题而言,我们可以换用任何字母来表示这个整数,我之所以用五个不同的符号表示,只是为了表达这样一个意思:这五个命题中所说的五个整数,可能不相等.以证明中用到的Ⅱ与Ⅲ的对立关系为例说明:
n大于N2和N3,是Ⅱ与Ⅲ分别成立的条件.如果令N=max{N2,N3},即:N为N2和N3中【较大】的那个(显然,这样的N是一定存在的——只要N2和N3存在);那么,因为N2和N3都可以分别令Ⅱ和Ⅲ为真,所以,比它们更大的N,肯定更可以令Ⅱ和Ⅲ为真了.此时,就有了这样的结论:
Ⅱ′:当n>N时,Xn必然小于0;
Ⅲ′:当n>N时,Xn必然不小于0;
这显然是相互矛盾的.本题中的证明,就是利用这个矛盾进行反证的.
我们可利用上面定义的各个命题,重写证明过程:
定理3可以表示为:
①→Ⅰ;②→Ⅱ;
而所需证明的推论可以这样表示:
Ⅲ→③;Ⅳ→④;
那么证明就是这样的:
如果:Ⅲ→③不成立;那么就有:Ⅲ为真,且③为假;
③为假,所以它的矛盾命题②,必然为真;
那么根据:②→Ⅱ,可得:Ⅱ为真;
但Ⅱ与Ⅲ矛盾;由此可证明Ⅲ→③必然成立.
上面是反证法,其实还可以用直接法:
若Ⅲ为真,则Ⅱ为假;——对立命题的性质;
若Ⅱ为假,则②为假;——逆否命题的性质;
若②为假,则③为真;——矛盾命题的性质;
转换成原来的命题,就是:
如果:存在N,使得n>N时,Xn≥0;
那么:就不存在N,使得n>N时,Xn<0;
如果:不存在N,使得n>N时,Xn<0;
那么:{Xn}的极限a就不满足:a<0;
如果:{Xn}的极限a不满足:a<0;
那么:{Xn}的极限a就一定满足:a≥0;
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