高数种数列极限的定理3中的推论图中证明的第三行开始我看不懂书上证明的逻辑了,为什么那样说,求高数教

Question

高数种数列极限的定理3中的推论图中证明的第三行开始我看不懂书上证明的逻辑了,为什么那样说,求高数教
 

Answer 1

虽然你没给出定理3的内容,但从这个证明中的描述可以看出,定理3应该是这样的：
　　如果一个数列｛Xn｝的极限a满足：a＜0（或a＞0）；那么｛Xn｝必然从某项开始有：Xn＜0（或Xn＞0）；
　　而这个推论,（基本上）就是定理3的【逆命题】.本来,对于普通的命题,其逆命题是未必为真的.但定理3实在很特殊：
　　它同时对（a＜0）和（a＞0）进行判断,这就（基本上）相当于同时肯定了一个命题和它的【否命题】；而我们都知道,【逆命题】和【否命题】互为【逆否命题】,它们是等价的.
　　虽然这里我所说的逆命题、否命题都不是严格的,但这些特点就为该推论的成立提供了基础条件.
　　定理3和推论中,都假定极限存在.所以,可以定义以下命题：
①：a＞0；
②：a＜0；
③：a≥0；
④：a≤0；
⑤：a＝0；
　　它们的关系是：
（1）①、②、⑤两两相互对立；——所谓对立,就是不能同时为真；
（2）①、④相互矛盾；——所谓矛盾,就是不能同时为真,也不能同时为假；
（3）②、③相互矛盾；
（4）③、④相交于⑤；
　　而关于Xn的判断,都是针对n大于某个项数后的所有项而言的.具体包括以下命题：
Ⅰ：存在N1：若n＞N1,则Xn＞0；
Ⅱ：存在N2：若n＞N2,则Xn＜0；
Ⅲ：存在N3：若n＞N3,则Xn≥0；
Ⅳ：存在N4：若n＞N4,则Xn≤0；
Ⅴ：存在N5：若n＞N5,则Xn＝0；
Ⅵ：不存在N6,使得当n＞N6时,Xn与0有固定统一的大小关系；
它们的关系就是解决你的问题的关键：
（1）Ⅰ、Ⅱ、Ⅴ相互独立；
（2）Ⅰ、Ⅳ相互独立；
（3）Ⅱ、Ⅲ相互独立；
（4）Ⅲ、Ⅳ相交于Ⅴ；
（5）Ⅰ～Ⅴ的选言命题,与Ⅵ相互矛盾；
　　上面所说的N1～N5,对单个命题而言,我们可以换用任何字母来表示这个整数,我之所以用五个不同的符号表示,只是为了表达这样一个意思：这五个命题中所说的五个整数,可能不相等.以证明中用到的Ⅱ与Ⅲ的对立关系为例说明：
　　n大于N2和N3,是Ⅱ与Ⅲ分别成立的条件.如果令N＝max｛N2,N3｝,即：N为N2和N3中【较大】的那个（显然,这样的N是一定存在的——只要N2和N3存在）；那么,因为N2和N3都可以分别令Ⅱ和Ⅲ为真,所以,比它们更大的N,肯定更可以令Ⅱ和Ⅲ为真了.此时,就有了这样的结论：
　　Ⅱ′：当n＞N时,Xn必然小于0；
　　Ⅲ′：当n＞N时,Xn必然不小于0；
这显然是相互矛盾的.本题中的证明,就是利用这个矛盾进行反证的.
我们可利用上面定义的各个命题,重写证明过程：
定理3可以表示为：
　　①→Ⅰ；②→Ⅱ；
而所需证明的推论可以这样表示：
　　Ⅲ→③；Ⅳ→④；
那么证明就是这样的：
　　如果：Ⅲ→③不成立；那么就有：Ⅲ为真,且③为假；
　　③为假,所以它的矛盾命题②,必然为真；
　　那么根据：②→Ⅱ,可得：Ⅱ为真；
　　但Ⅱ与Ⅲ矛盾；由此可证明Ⅲ→③必然成立.
上面是反证法,其实还可以用直接法：
　　若Ⅲ为真,则Ⅱ为假；——对立命题的性质；
　　若Ⅱ为假,则②为假；——逆否命题的性质；
　　若②为假,则③为真；——矛盾命题的性质；
转换成原来的命题,就是：
　　如果：存在N,使得n＞N时,Xn≥0；
　　那么：就不存在N,使得n＞N时,Xn＜0；
　　如果：不存在N,使得n＞N时,Xn＜0；
　　那么：｛Xn｝的极限a就不满足：a＜0；
　　如果：｛Xn｝的极限a不满足：a＜0；
　　那么：｛Xn｝的极限a就一定满足：a≥0；