已知正数M,N为一元二次方程X^2+PX+Q=0的两个根,且M^2+N^2=3,MN=1求多项式X^3-(根号5-1)X^2-(根号5-1)X+1994的值

Question

已知正数M,N为一元二次方程X^2+PX+Q=0的两个根,且M^2+N^2=3,MN=1
求多项式X^3-(根号5-1)X^2-(根号5-1)X+1994的值

Answer 1

若M,N为该方程的两个根,则必须满足（X-M）（X-N）=0
则有 X^2-(M+N)X+MN=0 则 P=-（M+N） Q=MN
且 M^2+N^2=3,MN=1 ,则 M^2+2MN+N^2=（M+N）^2=5,因此M+N=±根号5
因此原方程为 X^2±根号5X+1=0
所以：X^3-(根号5-1)X^2-(根号5-1)X+1994=X^3-根号5X^2+X^2-根号5X++X+1994=X(X^2-根号5X+1）+（X^2-根号5X+1)+1993=1993