双曲线两焦点到双曲线上的点距离的成积

Question

双曲线两焦点到双曲线上的点距离的成积

Answer 1

以焦点在x轴上的双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1 (a>b>0)为例,设双曲线上的一点P ,双曲线两焦点F1,F2 令|PF1|=r1,|PF2|=r2,|F1F2|=2c,角F1PF2=θ 则由余弦定理知4c^2=r1^2+r2^2-2r1r2cosθ
(r1-r2)^2=r1^2+r2^2-2r1r2=4a^2
∴r1^2+r2^2=2r1r2+4a^2
∴4c^2=2r1r2+4a^2-2r1r2cosθ=4a^2+2r1r2(1-cosθ)
∴r1r2=2(c^2-a^2)/ (1-cosθ)=2b^2/(1-cosθ)