求由锥面z=k/R *√x²+y²（这是根号下）z=0及圆柱面x²+y²=R²围城的体积

Question

求由锥面z=k/R *√x²+y²（这是根号下）z=0及圆柱面x²+y²=R²围城的体积

Answer 1

对于z = F（X,Y）,
A =∫∫DDA =∫∫D√[1 +（F X）2 +（F y）的表面积2] DXDY
锥面Z =√（X 2 + Y 2）是圆柱形表面X 2 + Y 2 = 2倍的切削
积分区域D为：0≤X≤2,- √（ 2X-X 2）1,0≤Y≤√（2× - ×2）
到极坐标：0≤θ≤2π,0≤R≤2cosθ
削度方程：Z = R;缸公式：R = 2cosθ
的F / X = X / R =COSθ,F Y = Y / R =SINθ
F X）2 +（F Y）2 = COS 2θ+罪2θ= 1
∴A =∫∫D√[1 +（F X）2 +（F Y）2] DXDY
=∫∫e √[1 +1]rdrdθ
=√2∫ [∫ RDR]Dθ
=√2∫ [ R ^ 2/2]Dθ
=√2∫ [2cos 2θ]Dθ
=√2∫ [1 +采用cos2θ] Dθ
=√2/2∫ [1 +采用cos2θ] D（2θ）
=√2/2 [（2θ'+sin2θ）]
=√2/2 [4π-0]
= 2√2π