在正方形ABCD中,点M,N在AD,CD上,若∠MBN=45°,求MN=AM+CN

Question

在正方形ABCD中,点M,N在AD,CD上,若∠MBN=45°,求MN=AM+CN

Answer 1

如图,∵BC∥AD,AB=BC=CD,
∴梯形ABCD是等腰梯形,
∴∠A+∠BCD=180°,
把△ABM绕点B顺时针旋转90°到△CBM′,则△ABM≌△CBM′,
∴AM=CM′,BM=BM′,∠A=∠BCM′,∠ABM=∠M′BC,
∴∠BCM′+∠BCD=180°,
∴点M′、C、N三点共线,
∵∠MBN=12∠ABC,
∴∠M′BN=∠M′BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=∠ABC-∠MBN=12∠ABC,
∴∠MBN=∠M′BN,
在△BMN和△BM′N中,
∵BM=BM′∠MBN=∠M′BNBN=BN,
∴△BMN≌△BM′N（SAS）,
∴MN=M′N,
又∵M′N=CM′+CN=AM+CN,
∴MN=AM+CN；
（2）MN=CN-AM．
理由如下：如图,作∠CBM′=∠ABM交CN于点M′,
∵∠ABC+∠ADC=180°,
∴∠BAD+∠C=360°-180°=180°,
又∵∠BAD+∠BAM=180°,
∴∠C=∠BAM,
在△ABM和△CBM′中,∠CBM′=∠ABMAB=BC∠C=∠BAM,
∴△ABM≌△CBM′（ASA）,
∴AM=CM′,BM=BM′,
∵∠MBN=12∠ABC,
∴∠M′BN=∠ABC-（∠ABN+∠CBM′）=∠ABC-（∠ABN+∠ABM）=∠ABC-∠MBN=12∠ABC,
∴∠MBN=∠M′BN,
在△MBN和△M′BN中,
∵BM=BM′∠MBN=∠M′BNBN=BN,
∴△MBN≌△M′BN（SAS）,
∴MN=M′N,
∵M′N=CN-CM′=CN-AM,
∴MN=CN-AM．