如图,EF分别为正方形ABCD的边AB,AD的中点,DE,CF相交于点P,DE的延长线交CB的延长线于G（1）求证：DE⊥CF；（2）若正方形ABCD的边长为a求PB的长

Question

如图,EF分别为正方形ABCD的边AB,AD的中点,DE,CF相交于点P,DE的延长线交CB的延长线于G
（1）求证：DE⊥CF；（2）若正方形ABCD的边长为a求PB的长

Answer 1

证明：（1）∵DF=AE,CD=DA,∠CDF=∠DAE,∴△CDF≌△DAE,∴∠FDP=∠DCP
在三角形CFD中,∠DFP+∠DCP=90°,∴∠DFP+∠FDP=90°,即△DFP也是直角三角形,
即∠DPF=90°,∴DE⊥CF.
（2）取CD中点H,连接BH交CP于Q,则BH∥DE,∴BQ⊥CP,在Rt△CDP中,H为CD中点,∴Q为CP中点,∴BQ为△CBP的高线、又是中线,∴△CBP是等腰三角形,∴BP=BC=a.