圆的面积公式是怎么得来的,

Question

圆的面积公式是怎么得来的,

Answer 1

圆的方程是：x^2+y^2=r^2
也就是：y=±√(r^2-x^2)
我们考察位于第一象限的1/4各院的情形,就有：y=√(r^2-x^2),其中：x∈[0,r],y∈[0,r].
当x变量增加一个无穷小量dx时,y(x)增加到y(x+dx),就构成了一个宽度为dx、高度为y(x)的竖直矩形.
此矩形的面积ds是：
ds=y(x)dx=[√(r^2-x^2)]dx
当dx→0时,对上式积分（定积分）,就有：
s=∫[√(r^2-x^2)]dx（积分上限是r,下限是0）
此即为1/4的圆的面积.
因此,圆的面积就是：
S=4∫[√(r^2-x^2)]dx（积分上限是r,下限是0）
简单查阅积分表,就能得出积分结果.
其结果就是：S=πr^2