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如图,正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD的中点,AE、BF相交于点G,连接GD,求证:1、AE=BF,AE⊥BF;2、AD=GD
题目详情
如图,正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD的中点,AE、BF相交于点G,连接GD,求证:
1、AE=BF,AE⊥BF;
2、AD=GD
1、AE=BF,AE⊥BF;
2、AD=GD
▼优质解答
答案和解析
1、证明:在RT△ABE和RT△BCF中
因为:AB=BC,BE=CF
所以:这两个直角三角形全等
所以:AE=BF, ∠BEG=∠BFC
在△BEG和△BFC中:∠BEG=∠BFC,公共角∠EBG=∠FBC
所以;这两个三角形相似,有∠BGE=∠BCF=90°
即:AE⊥BF
2、由∠AGF=∠ADF=90°得知A, G, F, D四点共元,
所以:∠DAG=∠BFC,∠AGD=∠AFD
而:由△ADF≌△BCF得知∠AFD=∠BFC
所以:∠AGD=∠BFC=∠DAG
即:△ADG是等腰三角形
所以:AD=DG
因为:AB=BC,BE=CF
所以:这两个直角三角形全等
所以:AE=BF, ∠BEG=∠BFC
在△BEG和△BFC中:∠BEG=∠BFC,公共角∠EBG=∠FBC
所以;这两个三角形相似,有∠BGE=∠BCF=90°
即:AE⊥BF
2、由∠AGF=∠ADF=90°得知A, G, F, D四点共元,
所以:∠DAG=∠BFC,∠AGD=∠AFD
而:由△ADF≌△BCF得知∠AFD=∠BFC
所以:∠AGD=∠BFC=∠DAG
即:△ADG是等腰三角形
所以:AD=DG
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