如图,长方形ABCD中,AB=3,BC=4,E是边AD上的动点,F是射线BC上的一点,EF=BF且交射线DC于点G,设AE=x,BF=y1）当△BEF是等边三角形时,求BF的长2）求y于x之间的函数解析式,并求出它的定义域3）把△ABE沿着直

Question

如图,长方形ABCD中,AB=3,BC=4,E是边AD上的动点,F是射线BC上的一点,EF=BF且交射线DC于点G,
设AE=x,BF=y
1）当△BEF是等边三角形时,求BF的长
2）求y于x之间的函数解析式,并求出它的定义域
3）把△ABE沿着直线BE翻折,点A落在A'处,试探索：△A'BF能否为等腰三角形?如果能,请求出AE的长；如果不能,请说明理由

Answer 1

1) 当△BEF是等边三角形时,角ABE=30°,所以AB=3=（根号3）*AE,所以AE=根号3,BE=2（根号3）=BF.
2) 过点F做FH垂直于BF,垂足为H,所以EF^2=BF^2=EH^2+FH^2=3^2+(y-x)^2,
即y^2=9+(y-x)^2,y=(x^2+9)/2x,（x>0）
3）：假设△A'BF为等腰三角形.
因为EF=BF,所以角FBE=角FEB,又角AEB=角FEB=角BEA',所以点A'在直线EF上.
显然角A=角EA'B,所BA'垂直于EF.由假设得,A'B=A'F=AB=3.
所以y=3*根号2,AE=EA'=EF-A'F=BF-A'F=3*根号2-3.