如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点P是BD上一点,PE⊥AB于点E,PF⊥AD于点F,连接OE,OF.(1）证明：OE=OF(2)若PE=1,PF=3,求OE的长.

Question

如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点P是BD上一点,PE⊥AB于点E,PF⊥AD于点F,连接OE,OF.
(1）证明：OE=OF
(2)若PE=1,PF=3,求OE的长.

Answer 1

（1）由题意可知,四边形AFPF是矩形,△BEP是等腰直角三角形
∴AF=PE=BE,∠OAF=∠OBE=45°
∵OA =OD
∴△AOF≌△BOE
∴OE =OF
(2)∵△AOF≌△BOE
∴∠BOE=∠AOF
∵∠AOB =90°
∴∠EOF=90°
∴△EOF 是等腰直角三角形
∵PE=1,PF=3
∴AP=√10
∴EF=√10（矩形的对角线相等）
∴OE=√5