在正方形abcd中,e,f,g,h,分别在ab,bc,cd,da上,eg⊥fh,求：eg=fh

Question

在正方形abcd中,e,f,g,h,分别在ab,bc,cd,da上,eg⊥fh,求：eg=fh

Answer 1

过C作CM∥FH交AD于M,过D作DN∥GE交AB于N.
∵ABCD是正方形,∴HM∥FC,结合作出的CM∥FH,得：CMHF是平行四边形,∴CM＝FH.
∵ABCD是正方形,∴DG∥NE,结合作出的DN∥GE,得：DNEG是平行四边形,∴DN＝EG.
令CM与DN相交于K.
由CM∥FH、DN∥GE、EG⊥FH,得：CM⊥DN.
∵ABCD是正方形,∴CB⊥NB.
由CM⊥DN、CB⊥NB,得：B、C、K、N共圆,∴∠AND＝∠BCM.
∵ABCD是正方形,∴∠A＝∠BCD＝90°,∴∠ADN＝90°－∠ANB,∠DCM＝90°－∠BCM.
由∠AND＝∠BCM、∠ADN＝90°－∠ANB,∠DCM＝90°－∠BCM,得：∠ADN＝∠DCM.
∵ABCD是正方形,∴AD＝DC,∠A＝∠CDM,结合证得的∠ADN＝∠DCM,得：
△ADN≌△DCM,∴DN＝CM.
由DN＝CM、CM＝FH、DN＝EG,得：EG＝FH.