已知点E是正方形ABCD的中点,点F在AD上,且AF=1/4AD,求证:EC平分角BCF.AF为AD的四分之一.纠正:点E是正方形AB边的中点.

Question

已知点E是正方形ABCD的中点,点F在AD上,且AF=1/4AD,求证:EC平分角BCF.
AF为AD的四分之一.
纠正:点E是正方形AB边的中点.

Answer 1

证明：为方便证明,设正方形的边长为4a,则有
AF=a,FD=3a,AE=BE=2a,
由勾股定理,得：
FC²=FD²+CD²=(3a)²+(4a)²=25a²
EC²=BC²+BE²=(4a)²+(2a)²=20a²
EF²=AF²+AE²=a²+(2a)²=5a²
在△ECF中,有：EF²+EC²=FC²,所以它是一个以∠FEC为直角的直角三角形,FC是斜边.
过E点作BC的平行线,交FC于G点,因AD平行于BC,AE=BE,则：FG=GC,
G是斜边FC的中点,因为‘直角三角形中,斜边中线等于斜边一半’,所以
EG=GC,则∠GCE=GEC,
因EG平行BC,所以∠GEC=∠BCE,
所以：∠GCE=∠BCE,即EC平分∠BCF.