如图.点M是矩形ABCD的边AD的中点,点P是边BC边上的一个动点,PE⊥MC,PF⊥BM,垂足分别为E,F （1）当矩形ABCD的长和宽满足什么条件时,四边形PEMF为矩形?说明理由（2）在（1）中,当P点运动到什么位置

Question

如图.点M是矩形ABCD的边AD的中点,点P是边BC边上的一个动点,PE⊥MC,PF⊥BM,垂足分别为E,F
（1）当矩形ABCD的长和宽满足什么条件时,四边形PEMF为矩形?说明理由
（2）在（1）中,当P点运动到什么位置时,矩形PEMF为正方形,说明理由

Answer 1

1,答:长:宽=2:1时.(即BC=2AB）
证明:因为ABCD是矩形,所以∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°
又因为AD=2AB,且M为AD中点,所以AB=AM=MD
所以△BAM和△MDC是等要直角三角形.
所以∠AMB=∠DMC=45°
所以∠BMC=90°
因为四边形PEMF中,∠PEM=∠EMF∠MFP=90°
所以四边形PEMF是矩形.
2,答:当P运动到BC中点时,矩形PEMF是正方形.
证明:由1问知,四边形PEMF是矩形
因为AM=MD=AB=CD,且∠BAD=∠ADC=90°,所以∠ABM=∠MCD=45°
所以MC=MB,
在△BFP和△CEP中
∠FBP=∠ECP
∠FBP=∠CEP
BP=CP
所以△BFP和△CEP全等
所以FP=PE
因为矩形FPEM中邻边FP,PE相等
所以矩形FPEM是正方形.