求球面x^2+y^2+z^2=1在第一卦限部分的切平面,使它与三坐标轴平面围成的四面体有最小体积

Question

求球面x^2+y^2+z^2=1在第一卦限部分的切平面,使它与三坐标轴平面围成的四面体有最小体积

Answer 1

球面在第一卦限的法向量为(x0,y0,z0),切平面方程为(x－x0)x0+(y－y0)y0+(z－z0)z0＝0,即xx0+yy0+zz0＝1.与三坐标轴的交点为(1/x0,1/y0,1/z0),四面体的体积为1/(6x0y0z0),因此问题就是求x0y0z0的最大值,条件为x0^2+y0^2+z0^2=1.由于1＝x0^2+y0^2+z0^2>=3×三次根号(x0^2y0^2z0^2),于是x0y0z0<=1/根号(27),故最小体积是根号(27)/6＝根号(3)/2.当且仅当x0＝y0＝z0＝1/根号(3)时达到最小体积.