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任意4个自然数,其中至少有两个数的差是3的倍数.这是为什么?
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任意4个自然数,其中至少有两个数的差是3的倍数.这是为什么?
▼优质解答
答案和解析
假设这四个自然数是A、B、C、D
先来考察这四个自然数中后三个减去A的差：B-A、C-A、D-A,若其中都没有3的倍数,则这三者除以3的余数只能是1或者2；
根据抽屉原则,这三者除以3的余数中至少有两个是相同的,不妨假设B-A和C-A除以3的余数相同；
那么可令B-A=3m+k,C-A=3n+k,(其中k是余数1或2,m、n是整数),
则有：C-B=(C-A)-(B-A)=(3n+k)-(3m-k)=3(n-m),是3的倍数.
综上分析可知：这四个自然数中至少有两个数的差是3的倍数.
先来考察这四个自然数中后三个减去A的差：B-A、C-A、D-A,若其中都没有3的倍数,则这三者除以3的余数只能是1或者2；
根据抽屉原则,这三者除以3的余数中至少有两个是相同的,不妨假设B-A和C-A除以3的余数相同；
那么可令B-A=3m+k,C-A=3n+k,(其中k是余数1或2,m、n是整数),
则有：C-B=(C-A)-(B-A)=(3n+k)-(3m-k)=3(n-m),是3的倍数.
综上分析可知：这四个自然数中至少有两个数的差是3的倍数.
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