初等数论第4次作业 1.论述题 求2545与360的最大公约数.2.论述题 证明：设m,n为整数,求证m+n,m-n与mn中一定有一个是3的倍数.3.论述题 设n是正整数,证明6| n(n + 1)(2n + 1).

Question

初等数论第4次作业
1.论述题 求2545与360的最大公约数.
2.论述题 证明：设m,n为整数,求证m+n,m-n与mn中一定有一个是3的倍数.
3.论述题 设n是正整数,证明6| n(n + 1)(2n + 1).

Answer 1

1.论述题 求2545与360的最大公约数.
(2545,360)
=(2545-360*7,360)=(125,360)
=(125,360-125*3)=(125,-15)[注意：可以使用负数以便计算]
=(125-15*8,-15)=(5,-15)
=5
事实上,算到(125,360)时就可以怎出结果来了.360=5*72,125=5*5*5
2.论述题 证明：设m,n为整数,求证m+n,m-n与mn中一定有一个是3的倍数.
引理：素p|a1*...*an,则p|a1或...或p|an.证略.
证：据引理,只须证X=(m+n)(m-n)mn=mn(mm-nn)==0 mod 3
若m==0mod3,显然.
若m==1mod3,X==n(1-nn)=-(n-1)n(n+1)==0mod3,显然.
若m==-1mod3,X==-n(1-nn)==0mod3,显然.
得证.
3.论述题 设n是正整数,证明6| n(n + 1)(2n + 1).
引理：(p,q)=1,p|a,q|a,则pq|a
证：
记X= n(n + 1)(2n + 1).
2|n(n+1),显然.从而2|X
当n=0,-1,1mod 3时,均有X==0mod3,即对于任意n,3|X
依引理,(2*3)|X.得证.