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初等数论关于整除的.
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初等数论关于整除的.
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▼优质解答
答案和解析
3.(1)
n^3 -n=n(n+1)(n-1)
这是三个连续的自然数,必然有一个偶数,也必然有一个有因子3,所以n^3 -n是6的倍数
而6n也是6的倍数
所以n^3 +5n也是6的倍数
(2)
n^5 -n=n(n+1)(n-1)(n^2 +1)
n(n+1)(n-1)是6的倍数
而如果n是 5的倍数 或者 除5余4 或者 除5余1
那么n,(n+1),(n-1)中必然有一个是5的倍数
而如果 n除5余2 或者 除5余3,那么n^2 +1一定是5的倍数
所以综上,无论n为任何整数,30|(n^5 -n)
4.
(a^3 +b^3 +c^3)=(a +b +c)(a^2 +b^2+c^2) -(ab+bc+ac)(a+b+c)+abc*3
因为6|(a +b +c)
从而a,b,c中至少有一个偶数,所以6| (abc*3)
所以6|[(a +b +c)(a^2 +b^2+c^2) -(ab+bc+ac)(a+b+c)+abc*3]
所以6|(a^3 +b^3 +c^3)
5.
因为7^83 +8^163
=7 *(7^82 )+64*(8^161)
=7 *(7^82 )+7*(8^161) +57*(8^161)
=7*[(7^82 )+(8^161)] +57*(8^161)
又因为57|[(7^82 )+(8^161)]
所以57|{7*[(7^82 )+(8^161)] +57*(8^161)}
所以57|[7^83 +8^163]
n^3 -n=n(n+1)(n-1)
这是三个连续的自然数,必然有一个偶数,也必然有一个有因子3,所以n^3 -n是6的倍数
而6n也是6的倍数
所以n^3 +5n也是6的倍数
(2)
n^5 -n=n(n+1)(n-1)(n^2 +1)
n(n+1)(n-1)是6的倍数
而如果n是 5的倍数 或者 除5余4 或者 除5余1
那么n,(n+1),(n-1)中必然有一个是5的倍数
而如果 n除5余2 或者 除5余3,那么n^2 +1一定是5的倍数
所以综上,无论n为任何整数,30|(n^5 -n)
4.
(a^3 +b^3 +c^3)=(a +b +c)(a^2 +b^2+c^2) -(ab+bc+ac)(a+b+c)+abc*3
因为6|(a +b +c)
从而a,b,c中至少有一个偶数,所以6| (abc*3)
所以6|[(a +b +c)(a^2 +b^2+c^2) -(ab+bc+ac)(a+b+c)+abc*3]
所以6|(a^3 +b^3 +c^3)
5.
因为7^83 +8^163
=7 *(7^82 )+64*(8^161)
=7 *(7^82 )+7*(8^161) +57*(8^161)
=7*[(7^82 )+(8^161)] +57*(8^161)
又因为57|[(7^82 )+(8^161)]
所以57|{7*[(7^82 )+(8^161)] +57*(8^161)}
所以57|[7^83 +8^163]
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