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在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,1),点B的坐标为(11,1),点C到直线AB的距离为4,且△ABC是直角三角形,则满足条件的点C有多少个?请根据直角坐标系的特点用代数方法解决

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在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,1),点B的坐标为(11,1),点C到直线AB的距离为4,且△ABC是直角三角形,则满足条件的点C有多少个?请根据直角坐标系的特点用代数方法解决
▼优质解答
答案和解析
若AB是直角边,则满足条件的有4个点(1,5),(1,-3),(11,5)(11,-3)
若AB是斜边,设C(x,5),过C作AB边上的高,由射影定理,得,
4^2=(x-1)(11-x)
解得x1=3,x2=9
所以有(3,5),(9,5)
根据对称性,得另外两点(3,-3)(9,-3)
所以共有8个点符合要求