在直角坐标系xoy中,点m到点F1(-根号3,0),F2(根号3,0)的距离之和是4,点M的轨迹C与x轴的负半轴交于点A,不过A的的直线l：y=kx+b与轨迹C交于不同的两点P和Q.1.求C轨迹2.向量AP*向量AQ=0时,求k与b的关系,

Question

在直角坐标系xoy中,点m到点F1(-根号3,0),F2(根号3,0)的距离之和是4,点M的轨迹C与x轴的负半轴交于点A,不过A的的直线l：y=kx+b与轨迹C交于不同的两点P和Q.
1.求C轨迹
2.向量AP*向量AQ=0时,求k与b的关系,证明l过定点.（重点讲这个）

Answer 1

1、依题意,C的轨迹是椭圆,c=根号3,2a=4,
∴b=1
∴C的轨迹方程为x²/4 +y²=0；
2、依题意可得 点A （-2,0）,设P（x1,y1）,Q（x2,y2）
则联立方程得x²/4 +y²=0；y=kx+b
代人得 （4k²+1）x²+8bx+4b²-4=0
∴x1+x2=-8b/4k²+1； x1×x2=4b²-4/4k²+1
∴y1×y2=（kx1+b）×（kx2+b）=k²x1x2+kb（x1+x2）+b²
∵向量AP=(x1+2,y1）,向量AQ（x2+2y2）
.∵量AP*向量AQ=0
即(x1+2,y1）*（x2+2,y2）=0
∴（x1+2）*（x2+2)+y1*y2=0
∴x1*x2+2（x1+x2）+4+k²x1x2+kb（x1+x2）+b²=0
整理得：12k²-16kb+5 b²=0
∴（2k-b）（6k-5b）=0
∴k=1/2b,或k=5/6b
因此直线为y=1/2bx+b或y=5/6bx+b
①当y=1/2bx+b时,直线过定点（-2,0）
①当y=5/6bx+b时,直线过定点（-6/5,0）