如图,已知在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN过C点,AD⊥MN于D点,BE⊥MN于E点.①当直线MN绕点C旋转到图1位置时,试探求DE、AD、BE三条线段数量关系并证明.②当直线MN绕点C旋转到图2位置时,试探求DE、AD

Question

如图,已知在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN过C点,AD⊥MN于D点,BE⊥MN于E点.
①当直线MN绕点C旋转到图1位置时,试探求DE、AD、BE三条线段数量关系并证明.
②当直线MN绕点C旋转到图2位置时,试探求DE、AD、BE三条线段数量关系并证明.

Answer 1

∵AD⊥MN,BE⊥MN
∴∠ADC=∠AEB=90°
又∵AC⊥BC
∴∠ACD+∠BCE=∠ACB=90°
又∵∠CBE+∠BCE=90°
∴∠ACD=∠CBE
在△ACD和△CBE中
｛∠ACD=∠CBE,∠ADC=∠AEB,AC=BC
∴△ACD≌△CBE（AAS）
∴AD=EC,CD=EB
∴ED=CE-CD=AD-EB
（2）
∵AD⊥MN,BE⊥MN
∴∠ADC=∠CEB=90°
又∵AC⊥BC
∴∠ACD+∠BCE=180°-∠ACB=90°
又∵∠ACD+∠CAD=180°-∠ADC=90°
∴∠BCE=∠CAD
∴在△ADC和△CEB中
{∠ADC=∠CEB,∠CAD=∠BCE,AC=CB
∴△ADC≌△CEB（AAS）
∴AD=CE,CD=BE
∴DE=CE+CD=AD+BE