有没有整数a,b的存在,使等式a的平方加b的平方等于1003成立?

Question

有没有整数a,b的存在,使等式a的平方加b的平方等于1003成立?

Answer 1

不存在.
当a=2n,b=2m
a²=4n²,b²=4m²
当a=(2n+1),b=(2m+1)
a²=4n²+4n+1=4n(n+1)+1,b²=4m(m+1)+1
即,
偶数的平方是4的倍数
奇数的平方是4的倍数+1
因此,a²+b²应该是4的倍数或4的倍数+2,或4的倍数+1
而1003即不是4的倍数,又不是4的倍数+2,4的倍数+1
所以,
不可能存在整数a,b,使等式a的平方加b的平方等于1003