如图,正方形AOCB的边长为4,反比例函数的图象过点E（3,4）．与线段BC交于点D,直线y=-1/2x+b过点D,与线段AB相交于点F.（1）求点F的坐标.（2）连接OF、OE,探究∠AOF和∠EOC的数量关系,并证明.（3）在x

Question

如图,正方形AOCB的边长为4,反比例函数的图象过点E（3,4）．
与线段BC交于点D,直线y=-1/2x+b过点D,与线段AB相交于点F.
（1）求点F的坐标.
（2）连接OF、OE,探究∠AOF和∠EOC的数量关系,并证明.
（3）在x轴上找两点M、N,使MN=2,且使四边形AMND周长最小,求M、N两点的坐标.

Answer 1

（1）反比例函数过点E（3,4）,可求得反比例函数y=12/x,点D横坐标为4,代入可求得D(4,3)；D在直线上,代入可求得b=5；F点纵坐标为4,代入直线方程,可求得横坐标为2
所以F（2,4）
（2）在CD上取CG=AF=2,连接OG,连接EG并延长交x轴于点H． 
∵AO=CO=4,∠OAF=∠OCG=90°,AF=CG=2, 
∴△OAF≌△OCG(SAS)． 
∴∠AOF=∠COG． 
又因为BG=GC=2,AB∥CD,有EG=GH,CH=BE=1；可算出OE=OH=5；
EG=GH,OE=OH
所以OG平分∠EOC,∠COG=（1/2）∠EOC
∠AOF=（1/2）∠EOC．
（3）只要求AM+DN的最小值
任意画四边形AM'N'D,使M'N'=2,找出N'关于直线BC在X轴上的对称点N",连接DN",则有DN'=DN"
过点M'作M'M"平行且等于DN",连接AM",交x轴于一点,这一点就是所求M点,再取N使MN=2
可设M(a,0),N(a+2,0)
AM直线方程为y=-4/a*x+4,M"点的纵坐标为-4,则横坐标为2a
NC=2-a=2a-a,得a=1
所以M(1,0),N(3,0)